Родился в городе Мары Туркестанской АССР в армянской семье. Родители работали учителями. Отец Арташес Григорьевич Асадьянц (1898—1929) родился в Нагорном Карабахе, учился в Томском технологическом институте, член ПСР. 9 ноября 1918 года был арестован на Алтае, освобождён 10 декабря 1919 г. группой П. Канцелярского. Из тюрьмы вышел большевиком, работал следователем Алтайской губЧК. С будущей женой Лидией Ивановной Курдовой (1902—1984) познакомился в Барнауле. В 1921 году уехал на Кавказ, воевал с дашнаками — комиссар стрелкового полка, командир стрелковой роты. С 1923 года — учитель в г. Мары, Туркестанской АССР.
После смерти отца в 1929 году Эдуард Асадов переехал с матерью в Свердловск, где жил его дед — врач Иван Калустович Курдов (1867—1938), выпускник Казанского университета, организатор санитарно-эпидемиологического дела и лечебно-профилактической помощи на Урале. Дядя — советский художник Валентин Иванович Курдов.
В восьмилетнем возрасте написал своё первое стихотворение. Вступил в пионеры, затем был принят в комсомол. С 1939 года жил в Москве на Пречистенке, в бывшем доходном доме Исакова. Учился в 38-й московской школе, которую закончил в 1941 году. Через неделю после выпускного вечера началась Великая Отечественная война. Асадов ушёл добровольцем на фронт, был наводчиком миномёта, потом помощником командира батареи «Катюш» на Северо-Кавказском и 4-м Украинском фронтах. Воевал на Ленинградском фронте.
В ночь с 3 на 4 мая 1944 года в боях за Севастополь под Бельбеком получил тяжелейшее ранение осколком снаряда в лицо. Теряя сознание, он довёл грузовой автомобиль с боеприпасами до артиллерийской батареи. За этот подвиг гвардии лейтенант Асадов был награждён орденом Красной Звезды. Последовало продолжительное лечение в госпиталях. Врачи спасли его жизнь, но не смогли сохранить зрение; и с того времени Асадов был вынужден до конца жизни носить чёрную «полумаску» на лице.